资料来源：https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html
View / Camera Transformation
如何呈现一个画面？
Define the camera first
首先定义一个摄像机
Position (位置) \(\vec e\)
Look-at / gaze direction (朝向物体方向) \(gˆ\)
Up direction (顶上方向) \(tˆ\)
然后摄像机朝向物体
当物体在空间中是随意摆放的，摄像机的位置和角度是随机不一样的
我们为了标准化设置，我们将摄像机的标准位置设置在
原点(origin) (0,0,0)
顶部朝向与Y轴方向一致
看向-Z方向
将处于空间任意位置的摄像机变换到标准位置和朝向的矩阵称为Mview
Transform the camera by Mview
Mview in math?
Translates e to origin
Rotates g to -Z
Rotates t to Y
Rotates (g x t) To X
Mview = RviewTview
Translate e to origin
\[Tview = \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -xe \\ 0 & 1 & 0 & -ye \\ 0 & 0 & 1 & -ze \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ]\]Rotate g to -Z, t to Y, (g x t) To X
\[R^{-1}view = \left [ \begin{matrix} x(gxt) & xt & x-g & 0\\ y(gxt) & yt & y-g& 0 \\ z(gxt) & zt & z-g & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ] => Rview = \left [ \begin{matrix} x(gxt) & y(gxt) & z(gxt) & 0\\ xt & yt & zt & 0 \\ x-g & y-g & z-g & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ]\]将摄像机变换到标准位置，物体也与相机一起变换
以上就是ModelView变换
Projection transformation
3D to 2D
Orthographic projection
Perspective projection
Orthographic projection
Translate (center to origin) first, then scale (length/width/height to 2)
\[Mortho= \left [ \begin{matrix} 2 /r-l & 0 & 0 & 0\\ 0& 2/t-b, & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2/n-f & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -(r+l)/2\\ 0 & 1 & 0 & -(t+b)/2 \\ 0 & 0 & 1 & -(n+f)/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ]\]Perspective Projection
透视投影是将一个矩形立方体空间的后平面，往内部挤压，挤成一个与前平面等宽高的面，这个过程就是近大远小的空间变换成能进行平行投影的长方体空间，然后再进行平行投影变换，就完成了屏幕空间的转换，数学的推到细节可在网上搜索到，这里就不做太多重复详解，以下是变换的矩阵组合
\[Mpersp->ortho = \left [ \begin{matrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right ]\] \[Mpersp = Mortho Mpersp->ortho\]
